Pytania:

1. Czy wypadkowa dwóch wektorów o różnych długościach może być równa zeru? A wypadkowa trzech wektorów?
   
   
2. Czy wektor może być równy zeru, jeżeli jedna z jego składowych jest różna od zera? Czy ma sens nazywanie wektorem wielkości, której długość jest równa zeru?
   
   
3. Wymienić kilka wielkości skalarnych. Czy wartość dowolnej wielkości skalarnej zależy od wybranego układu odniesienia?
   
   
4. Zdarzenia możemy podporządkować w czasie. Na przykład zdarzenie b poprzedza zdarzenie c i następuje po zdarzeniu a; określa to kolejność zdarzeń a, b i c. Wprowadziliśmy w ten sposób pojęcie przeszłości, teraźniejszości i przyszłości. Czy wobec tego czas jest wektorem? Jeśli nie, to dlaczego?
   
   
5. Czy prawa przemienności i łączności stosują się do odejmowania wektorów?
   
   
6. Czy iloczyn skalarny może być wielkością ujemną?

Zadania:

1. Dodano dwa wektory a i b. Pokazać, że długość wektora wypadkowego nie może być większa niż a + b, ani mniejsza niż .
   
   
2. Co można powiedzieć o dwóch wektorach a i b spełniających związki:
   1. a + b = c oraz a + b = c
   2. a + b = a - b
   3. a + b = c oraz a² + b² = c²
   
   
   
3. Rozważmy dwa przemieszczenia, jedno o wartości 3m, a drugie o wartości 4m. Jakie kierunki powinny mieć odpowiednie wektory przemieszczenia, aby wielkość przemieszczenia była równa:
   1. 7m,
   2. 1m,
   3. 5m.
   
   
   
4. Dwa wektory a i b o jednakowej długości, równej powiedzmy 10 jednostek, są zorientowane tak, jak pokazano na rysunku 14, a ich suma geometryczna wynosi r. Znaleźć:
   1. składowe x i y wektora r,
   2. długość wektora r,
   3. kąt, jaki tworzy wektor r z osią x.
   
   
   
5. Dane są dwa wektory a = 4i - 3j oraz b = 6i + 8j. Znaleźć długość i kierunek wektorów a, b, a + b, a - b oraz b - a.
   
   
6. Uogólnić analityczną metodę rozkładania wektorów na składowe i dodawanie wektorów na przypadek trzech i większej ilości wektorów.
   
   
7. Samochód przebył odległość 50km jadąc na wschód, następnie 30km jadąc na północ i w końcu 25km jadąc w kierunku odchylonym o 30° od północy ku wschodowi. Przedstawić drogę przebytą przez samochód za pomocą wektorów i znaleźć wypadkowe przemieszczenie samochodu licząc od punktu startu.
   
   
8. Grający w golfa trzykrotnie uderzał w piłkę, zanim wpadła ona do dołka znajdującego się na trawniku. Po pierwszym uderzeniu piłka przesunęła się o 12m na północ, po drugim uderzeniu o 6m w kierunku południowo-wschodnim, a po trzecim uderzeniu o 3m w kierunku południowo-zachodnim. Jakie musiałoby być przemieszczenie piłki, aby wpadła ona do dołka po pierwszym uderzeniu?
   
   
9. Cząstka doznaje trzech następujących kolejnych przemieszczeń na płaszczyźnie: 4m w kierunku południowo-zachodnim, 5m w kierunku wschodnim i 6m w kierunku odchylonym o 60° od północy ku wschodowi. Przyjąć, że oś y jest skierowana na północ, a oś x na wschód znaleźć:
   1. składowe każdego wektora przemieszczenia,
   2. składowe wektora przemieszczenia,
   3. wartość i kierunek przemieszczenia wypadkowego,
   4. przemieszczenie, jakiego musiałaby doznać cząstka, aby powrócić do punktu początkowego.
   
   
   
10. Przyjąć skalę 1cm = 2m i dodać graficznie przemieszczenia z zadania 9. Określić na podstawie wykresu wartość i kierunek przemieszczenia wypadkowego.
    
    
11. Uogólnić analityczną metodę rozkładania wektorów na składowe i ich dodawanie na przypadek przestrzeni trójwymiarowej.
    
    
12. Po opuszczeniu frontowych drzwi domu chłopiec przebył odległość 300m idąc na wschód i 600m idąc na północ, a następnie wyjął z kieszeni monetę 10gr i zrzucił ją ze stromej ściany o wysokości 150m. Wybrać jakiś układ współrzędnych i napisać wyrażenie na przemieszczenie monety posługując się jednostkowymi wektorami osi.
    Chłopiec wraca do tych samych drzwi idąc z powrotem inną drogą. Jakie jest jego wypadkowe przemieszczenie na całej drodze?
    
    
13. Znaleźć sumę przemieszczeń wektorowych c i d, których składowe wzdłuż trzech wzajemnie prostopadłych kierunków wynoszą w km: c_x = 5, c_y = 0, c_z = -2; d_x = -3, d_y = 4, d_z = 6.
    
    
14. Wektor d o długości 2,5m skierowany jest prosto na północ. Jaka jest długość i zwrot wektorów:
    1. -d,
    2. d/2,
    3. -2,5d,
    4. 4d.
    
    
    
15. Pokój ma wymiary 3,0m * 3,6m * 4,2m. Mucha przelatuje z jednego rogu pokoju do rogu diametralnie przeciwległego.
    1. Jaka jest wartość jej przemieszczenia?
    2. Czy długość przebytej przez nią drogi może być krótsza niż ta odległość? Dłuższa niż ta odległość? Równa tej odległości?
    3. Wybrać odpowiedni układ współrzędnych i znaleźć składowe wektora przemieszczenia w tym układzie.
    
    
    
16. Przypuśćmy, że mucha z zadania 15 nie fruwa, lecz pełznie. Jaka jest teraz najkrótsza droga, jaką może przebyć?
    
    
17. Samolot leci z Waszyngtonu do Manili. Jaka jest wartość jego wektora przemieszczenia, jeœli szerokość i długość geograficzna obu miast wynoszą odpowiednio: 39°N, 77°W oraz 15°N i 121°E?
    
    
18. Dwa wektory o długościach a i c, których początki stykają się ze sobą, tworząc kąt . Udowodnić, znajdując ich składowe wzdłuż dwu prostopadłych osi, że długość wektora wypadkowego wynosi:
    
    .
    
    
19. Wykazać, że dla dowolnego wektora a: = a² oraz = 0.
    
    
20. W standardowym (prawoskrętnym) układzie współrzędnych dany jest wektor a w kierunku dodatnim osi x, wektor b w kierunku dodatnim osi y oraz wielkość skalarna d.
    1. Jaki jest kierunek wektora b/d?
    2. Jaki jest kierunek iloczynu wektorowego ?
    3. Jaki jest kierunek wektora b/d?
    4. Jaka jest wartość iloczynu ?
    
    
    
21. Kierunki wektora a o długości 10 jednostek i wektora b o długości 6 jednostek różnią się o 60°. Znaleźć:
    1. iloczyn skalarny tych dwóch wektorów,
    2. ich iloczyn wektorowy.
    
    
    
22. Wykazać, korzystając z układu współrzędnych, przedstawionego na rysunku 6b, że:
    
    oraz .
    
    
23. Korzystając z prawoskrętnego układu współrzędnych przedstawionego na rysunku 6b wykazać, że:
    
    
    oraz
    .
    
    
24. 1. Widzieliśmy, że do iloczynu wektorowego nie stosuje się prawa przemienności, tzn. nie równa się . Wykazać, że prawo stosuje się do iloczynu skalarnego, tzn., że = .
    2. Wykazać, że prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania stosuje się zarówno do iloczynu skalarnego, jak i wektorowego, tzn. wykazać, że:
       
       
       oraz
       .
       
    3. Czy prawo łączności stosuje się do iloczynu wektorowego, tzn. czy jest równe ? Czy ma sens mówienie o prawie łączności dla iloczynu skalarnego?
    
    
    
25. Iloczyn skalarny w notacji wektorów jednostkowych.
    Mamy dwa wektory przedstawione w postaci:
    
    a = ia_x + ja_y + ka_z
    oraz
    b = ib_x + jb_y + kb_z.
    Wykazać analitycznie, że:
    
    = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z.
    
    (Wskazówka: patrz zadanie 22)
    
    
26. Korzystając z definicji iloczynu skalarnego = ab oraz faktu, że = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z (patrz zadanie 25), obliczyć wartość kąta zawartego między dwoma wektorami a = 3i + 3j - 3k oraz b = 2i + j + 3k.
    
    
27. Iloczyn wektorowy w notacji wektorów jednostkowych.
    Wykazać analitycznie, że:
    
    = i(a_yb_z - a_zb_y) + j(a_zb_x - a_xb_z) + k(a_xb_y - a_yb_x).
    
    (Wskazówka: patrz zadanie 23)
    
    
28. Wykazać, że wartość bezwzględna iloczynu wektorowego dwóch wektorów równa jest liczbowo polu równoległoboku, którego bokami są te dwa wektory (patrz rysunek 15). Czy fakt ten sugeruje, w jaki sposób można by za pomocą wektora przedstawić element powierzchni zorientowany w przestrzeni?
    
    
29. Wykazać, że powierzchnia trójkąta zawartego między wektorami a i b (patrz rys. 15) jest równa .
    
    
30. Wykazać, że wartość iloczynu jest równa liczbowo objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach a, b, c.
    
    
31. Niech wektory b i c będą dwiema przecinającymi się przekątnymi ścian sześcianu o krawędzi a (patrz rysunek 16). Znaleźć:
    1. składowe wektora d, gdzie d = ,
    2. wartości iloczynów , oraz .
    
    
    
32. Przypuśćmy, że a, b i c są trzema dowolnymi wektorami nie leżącymi w jednej płaszczyźnie. Nie muszą one tworzyć ze sobą kątów prostych.
    1. Wykazać, że .
    2. Niech:
       
       ,
       gdzie v = . Obliczyć wartość iloczynu skalarnego każdego z wektorów a, b i c z każdym z wektorów A, B i C.
    3. Jakie są wymiary wektorów A, B i C, jeśli a, b i c mają wymiary długości?
    
    
    
33. Niech N będzie liczbą całkowitą większą od jedności. Wówczas:
    
    ,
    To znaczy:
    .
    Podobnie:
    .
    Udowodnić te dwa twierdzenia, znajdując sumę N wektorów o jednakowej długości, tak rozmieszczonych, że każdy wektor tworzy z wektorem poprzedzającym go kąt .
    
    
34. Niezmienniczość dodawania wektorów względem obrotów układu współrzędnych.
    Na rysunku 17 przedstawione są dwa wektory a i b oraz dwa układy współrzędnych różniące się tym, że osie x i x` oraz y i y` tworzą ze sobą kąt . Udowodnić analitycznie, że a + b ma zawsze taką samą wartość, kierunek i zwrot, niezależnie od tego, w którym układzie wykonujemy dodawanie.