Rozkładanie wektorów na składowe i dodawanie wektorów. Metoda analityczna


       Geometryczna metoda dodawania wektorów jest niewygodna w przestrzeni trójwymiarowej; często jest ona również niewygodna w przypadku dwuwymiarowym. Inną metodą dodawania wektorów jest metoda analityczna, wykorzystująca rozkładanie wektorów na składowe, w jakimś szczególnym układzie współrzędnych.
       Na rysunku 5 pokazany jest wektor a, którego początek został umieszczony w początku prostokątnego układu współrzędnych. Jeżeli z końca wektora a spuścimy na osie układu prostopadłe, otrzymamy wielkości ax i ay nazywane składowymi wektora a. Sama operacja nazywa się rozkładaniem wektora na składowe. Na rysunku 5 przedstawiono, dla wygody, dwuwymiarowy przypadek rozkładania wektora; wyciągniętych wniosków na przypadek trójwymiarowy będzie bardzo proste.
       Dowolny wektor może mieć wiele zespołów składowych. Na przykład, jeżeli osie x i y z rysunku 5a obrócimy o 10° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymamy inne składowe wektora a. Ponadto możemy korzystać z nieprostokątnych, skośnych układów współrzędnych, tzn. takich układów, w których kąt między dwiema osiami jest różny od 90°. Składowe wektora są więc jednoznacznie określone dopiero wtedy, gdy wybraliśmy jakiś układ współrzędnych. Aby znaleźć składowe wektora, nie musimy koniecznie umieszczać początku wektora w początku układu - zrobiliśmy tak jedynie dla wygody; wektor można dowolnie przesuwać w danym układzie współrzędnych i dopóty, dopóki kąty, jakie tworzy ten wektor z osiami współrzędnych, są zachowane, jego składowe zostają nie zmienione.
       Składowe ax i ay pokazane na rysunku 5a łatwo znaleźć z zależności

,

gdzie jest kątem, jaki tworzy wektor a z dodatnią częścią osi x, mierzonym od tej osi w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Zauważmy, że w zależności od wielkości kąta składowe ax i ay mogą być dodatnie lub ujemne. Na przykład, na rysunku 5b by jest ujemne, a bx dodatnie. Składowe wektora zachowują się jak wielkości skalarne, ponieważ w dowolnym, ustalonym układzie współrzędnych danego układu odniesienia do określania ich wystarcza jedynie liczba z odpowiednim znakiem algebraicznym.
       Z chwilą gdy wektor został rozłożony na składowe, składowe te można wykorzystać do określenia tego wektora. Zamiast dwu liczb, a (określającej wartość wektora) i (określającej kierunek wektora względem osi x), mamy teraz dwie liczby ax i ay. Możemy przechodzić w obie strony od opisu wektora za pomocą składowych ax i ay do równoważnego opisu za pomocą wartości i kierunku wektora, a i , i na odwrót. Aby określić a i za pomocą ax i ay, zauważmy na podstawie rysunku 5a, że:

,

oraz
,

Ćwiartka, w której leży , określona jest przez znaki ax i ay.
       Przy rozkładaniu wektora na składowe wygodnie jest czasami wprowadzić wektor jednostkowy o określonym kierunku. I tak na przykład wektor a z rysunku 6a można zapisać jako:
a = uaa,

gdzie ua jest wektorem jednostkowym o kierunku wektora a. Często wygodnie jest narysować wektory jednostkowe wzdłuż osi wybranego, szczególnego układu współrzędnych. W prostokątnych układach współrzędnych dla oznaczenia jednostkowych wektorów o kierunku dodatnim osi x, y i z stosuje się zwykle odpowiednio symbole i, j, i k, patrz rys. 6b. Zauważmy, że wektory i, j, i k nie muszą być umieszczone w początku układu współrzędnych. Podobnie jak inne wektory, mogą one być dowolnie przesuwane względem danego układu współrzędnych, byleby tylko ich kierunek względem osi współrzędnych pozostał niezmieniony.
       Wektor a i b z rysunku 5 można zapisać za pomocą ich składowych oraz wektorów jednostkowych w postaci:
a = iax + jay,

oraz
b = iax + jay,

(patrz rysunek 7). Zależność wektorowa dana równaniem a = iax + jay jest równoważna zależnościom skalarnym z równań: , ; zależności te wiążą wektor (a lub a i ) z jego składowymi (ax i ay). Wielkości takie jak iax oraz jay z równania b = iax + jay będziemy czasami nazywać wektorami składowymi wektora a; są one przedstawione jako wektory na rysunku 7a. Samo słowo składowa w dalszym ciągu będzie odnosić się do wielkości skalarnej ax i ay.
       Rozważmy obecnie analityczną metodę dodawania wektorów. Niech r będzie sumą dwóch wektorów a i b leżących w płaszczyźnie xy, czyli:
r = a + b.

W danym układzie współrzędnych dwa wektory, takie jak r oraz a + b mogą być równe jedynie wtedy gdy, jeżeli ich odpowiednie składowe będą równe, tzn. gdy:
rx = ax + bx,

oraz
ry = ay + by.

Te dwa równania algebraiczne traktowane łącznie są równoważne pojedynczemu równaniu wektorowemu. Z równań: , możemy znaleźć r oraz kąt , jaki wektor r tworzy z osią x; mianowicie:
,

oraz
.

       W ten sposób otrzymaliśmy następującą analityczną regułę dodawania wektorów: rozłożyć w danym układzie współrzędnych każdy z wektorów na jego składowe; algebraiczna suma składowych wzdłuż pewnej osi jest równa składowej wektora wypadkowego, wziętej wzdłuż tej samej osi; znając składowe wektora wypadkowego możemy znaleźć sam ten wektor. Omówioną metodę dodawania wektorów można uogólnić na przypadek większej ilości wektorów oraz dla przestrzeni trójwymiarowej (patrz zadania 6 oraz 11).
       Zaletą metody analitycznej (w porównaniu z metodą bezpośredniego dodawania wektorów przy użyciu odpowiednich zależności trygonometrycznych) jest to, że przy rozkładaniu wektorów na składowe mamy zawsze do czynienia z trójkątami prostokątnymi, co znacznie upraszcza nam obliczenia.
       Przy dodawaniu wektorów za pomocą metody analitycznej odpowiedni wybór układu współrzędnych może znacznie uprościć proces dodawania. Czasami znane są z góry składowe wektora w jakimś szczególnym układzie współrzędnych. Wówczas wybór układu jest oczywisty. W innych przypadkach właściwy wybór osi może bardzo uprościć rozkładanie wektorów na składowe. Na przykład osie powinny być tak zorientowane, aby przynajmniej jeden z wektorów był równoległy do którejś z osi.


Przykład 1. Samolot przebywa odległość 130 km, lecąc wzdłuż linii prostej tworzącej kąt 22,5° z północą, w kierunku północno-wschodnim. Jak daleko na wschód i jak daleko na północ oddali się on od swego początkowego położenia?


       Wybieramy taki układ współrzędnych, w którym kierunek dodatni osi x jest skierowany na wschód, a osi y - na północ. Następnie (rysunek 8) rysujemy wektor przemieszczenia z początkowego układu współrzędnych (punkt startu samolotu) tak, aby tworzył on kąt 22,5° z osią y (północą), pochylając go w kierunku dodatnim osi x (wschodnim). Długość wektora tak dobieramy, aby odpowiadała ona 130 km. Jeżeli ten wektor nazwiemy wektorem d, wówczas dx będzie równe odległości przebytej przez samolot w kierunku wschodnim od punktu początkowego, a dy - odpowiedniej odległości w kierunku północnym.
       Mamy:
,

tak, że:

oraz
.


Przykład 2. Samochód jedzie po poziomej drodze prosto na wschód, przebywając odległość 30 km. Następnie skręca na północ i jadąc dokładnie w kierunku północnym przebywa drogę równą 40 km, po czym zatrzymuje się. Znaleźć wypadkowe przemieszczenia samochodu.
       Wybieramy układ nieruchomy względem Ziemi, o osiach tak dobranych, że dodatni kierunek osi x wskazuje wschód, a dodatni kierunek osi y - północ. Następnie rysujemy kolejne przemieszczenia a i b, jak pokazano na rysunku 9. Wypadkowe przemieszczenia r otrzymujemy ze związku r = a + b. Ponieważ wektor b nie ma składowej x, a wektor a - składowej y, mamy:
rx = ax + bx = 30km + 0 = 30km, ry = ay + by = 0 + 40km = 40km.

Wartość i kierunek r wynoszą wówczas:

,
,
.

Wypadkowy wektor przemieszczenia r ma więc wartość bezwzględną 50 km i skierowany jest pod kštem 53° względem północy w kierunku północno-wschodnim.

Przykład 3. Trzy leżące w jednej płaszczyźnie wektory określone są, względem pewnego prostokątnego układu odniesienia, wyrażeniami:
a = 4i + j,
b = -3a + 2j,
c = -3j.

przy czym składowe wyrażone są w pewnych umownych jednostkach. Znaleźć wektor r będący sumą tych wektorów.
       Mamy:
rx = ax + bx + cx = 4 - 3 - 0 = 1,

oraz
ry = ay + by + cy = -1 + 2 - 3 = -2,

skąd:
r = irx + jry = i - 2j.

Na rysunku 10 pokazane są wszystkie cztery wektory. Możemy obliczyć, że wartość wektora r wynosi , a kąt jaki tworzy r z dodatnim kierunkiem osi x, mierzony od tej osi w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, jest równy:
.